Я вот тоже придерживаюсь мнения, что лучше и безопасней ромашки нет. Ну и салфетки (только сухие лучше впитывают жир, чем смоченные). Вот может быть поможет, если сделать так: 1) как советовали viki и пантера отваром ромашки побрызгать из пульверизатора на птичку; 2) после этого сразу промакнуть сухими салфетками. Только за один раз вряд ли избавитесь от вазелина.
Честное слово, ну ничего пока больше не приходит на ум!

Безусловно, что ни мылом, ни порошком и прочими жирорастворимыми средствами для мытья посуды не вздумайте пользоваться!
